Leetcoder Day37｜ 动态规划part04 背包问题

01背包理论基础

面试���握01背包，完全背包和重背包就够用了。

背包问题的理论基础重中之重是01背包，一定要理解透！

01 背包

有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

每一件物品其实只有两个状态，取或者不取，所以可以使用回溯法搜索出所有的情况，那么时间复杂度就是o(2^n)，这里的n表示物品数量。

所以暴力的解法是指数级别的时间复杂度。进而才需要动态规划的解法来进行优化！

举例：背包最大重量为4。

物品为：

问背包能背的物品最大价值是多少？

以下讲解和图示中出现的数字都是以这个例子为例。

二维数组01背包

依然动规五部曲分析一波。

1. 确定dp数组以及下标的含义

对于背包问题，有一种写法， 是使用二维数组，即dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。要时刻记着这个dp数组的含义，下面的一些步骤都围绕这dp数组的含义进行的。

2.  确定递推公式

有两个方向可以推出来dp[i][j]，

• 不放物品i：由dp[i - 1][j]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量或背包剩余重量小于i的重量时，物品i无法放进背包中，所以背包内的价值依然和前面相同。)
• 放物品i：由dp[i - 1][j - weight[i]]推出，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值。

  所以dp[i][j]= max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])

  3. dp数组如何初始化

  关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱。

  首先从dp[i][j]的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。i是由i-1推出来的，所以i为0的时候就一定要初始化。刚才讨论过j=0的情况，那么i=0时，dp[0][j]，即：存放编号0的物品时，各个容量的背包所能存放的最大价值。因此 j =weight[0]，dp[0][j]的值为value[0]。

  dp[0][j] 和 dp[i][0] 初始化以后，其他位置都会从i-1或者j-weight[i]而来，因此都会被不断地覆盖，所以初始化为0即可。

  4. 确定遍历顺序

  在如下图中，可以看出，有两个遍历的维度：物品与背包重量，从哪个方向遍历都可以，因此我们就从物品开始遍历。

  public static void backValue(int[]value, int[] weight, int bagWeight){        int num=value.length;        int[][]dp=new int[num][bagWeight+1];        for(int j=weight[0];j