数据结构之堆的结构与实现

���录

一、堆的概念及结构

1.1堆的概念

 1.2堆的性质

1.3堆的结构

二、堆的实现

2.1堆向下调整算法（父亲与孩子做比较）

 2.2堆的向上调整算法（孩子与父亲做比较）

2.3堆的创建（向下建堆）

 2.4向下建堆的时间复杂度

2.5堆的插入

2.6堆的删除

2.7堆的完整代码实现

三、堆的应用

3.1堆排序

3.2TOP-K问题

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一、堆的概念及结构

1.1堆的概念

 1.2堆的性质

堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；

堆总是一棵完全二叉树。

1.3堆的结构

二、堆的实现

2.1堆向下调整算法（父亲与孩子做比较）

我们给出一个数组，逻辑上看做一颗完全二叉树。我们通过从根节点开始的向下调整算法可以把它调整成一个小堆。向下调整算法有一个前提：左右子树必须是一个堆，才能调整。 以下面图片为例：建小堆过程中父亲不断与较小的孩子交换

用代码来实现：

void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent)//n是参与向下算法的元素的个数{int child = parent * 2 + 1;while (child  
 2.2堆的向上调整算法（孩子与父亲做比较）
 
代码实现如下：
 
void AdjustUp(HPDataType* a, int child){int parent = (child - 1) / 2;while (child > 0){if (a[child]   
2.3堆的创建（向下建堆）
   我们给出一个数组，这个数组逻辑上可以看做一颗完全二叉树，但是还不是一个堆，现在我们通过算法，把它构建成一个堆。根节点左右子树不是堆，我们怎么调整呢？这里我们从倒数的第一个非叶子节点的   子树开始调整（向下调整），一直调整到根节点的树，就可以调整成堆。    假定有数组  int   a  []   =   {  1  ,  5  ,  3  ,  8  ,  7  ,  6  };     
 2.4向下建堆的时间复杂度
   因为堆是完全二叉树，而满二叉树也是完全二叉树，此处为了简化使用满二叉树来证明  (  时间复杂度本来看的就是近似值，多几个节点不影响最终结果  )  ：    
 因此：向下建堆的时间复杂度为O(N)。 
 
既然谈到了向下建堆的时间复杂度，不妨就算一下向上建堆的时间复杂度：
  
 冲两张图中可以看到：向下调整建堆的效率略高于向上调整建堆的效率，所以我上面所讨论的也都是向下调整建堆的实现方法。
 
2.5堆的插入
   先插入一个  10  到数组的尾上，再进行向上调整算法，直到满足堆。    
 代码实现：
 
void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x){assert(hp);//判满以及扩容if (hp->_capacity == hp->_size){int newCapacity = hp->_capacity == 0 ? 4 : 2 * hp->_capacity;HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(hp->_a, sizeof(HPDataType) * newCapacity);if (tmp == NULL){perror("realloc fail");exit(-1);}hp->_a = tmp;hp->_capacity = newCapacity;}hp->_a[hp->_size] = x;hp->_size++;AdjustUp(hp->_a, hp->_size - 1);}
 
2.6堆的删除
   删除堆是删除堆顶的数据，将堆顶的数据根最后一个数据一换，然后删除数组最后一个数据，再进行向下调整算法。     
 代码实现：
 
void HeapPop(Heap* hp){assert(hp);assert(hp->_size > 0);Swap(&hp->_a[0], &hp->_a[hp->_size - 1]);hp->_size--;AdjustDown(hp->_a, hp->_size, 0);}
 
2.7堆的完整代码实现
 
//Heap.h#pragma once#include #include #include #include typedef int HPDataType;typedef struct Heap{HPDataType* _a;int _size;int _capacity;}Heap;//堆的初始化void HeapInit(Heap* hp);// 堆的构建void HeapCreate(Heap* hp, HPDataType* a, int n);//交换void Swap(HPDataType* a, HPDataType* b);//向上调整void AdjustUp(HPDataType* a, int child);//向下调整void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent);//打印void HeapPrint(Heap* hp);// 堆的销毁void HeapDestory(Heap* hp);// 堆的插入void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x);// 堆的删除void HeapPop(Heap* hp);// 取堆顶的数据HPDataType HeapTop(Heap* hp);// 堆的数据个数int HeapSize(Heap* hp);// 堆的判空int HeapEmpty(Heap* hp);
 
//Heap.c#include "Heap.h"void HeapInit(Heap* hp){assert(hp);hp->_a = NULL;hp->_capacity = 0;hp->_size = 0;}void HeapCreate(Heap* hp, HPDataType* a, int n){assert(hp);assert(a);hp->_a = (HPDataType*)malloc(sizeof(HPDataType)*n);if (hp->_a == NULL){perror("malloc fail");exit(-1);}hp->_capacity = n;hp->_size = n;memcpy(hp->_a, a, sizeof(HPDataType) * n);for (int i = 1; i _a, i);}}void Swap(HPDataType* a, HPDataType* b){HPDataType tmp = *a;*a = *b;*b = tmp;}void AdjustUp(HPDataType* a, int child){int parent = (child - 1) / 2;while (child > 0){if (a[child] _a);hp->_capacity = 0;hp->_size = 0;}void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x){assert(hp);//判满以及扩容if (hp->_capacity == hp->_size){int newCapacity = hp->_capacity == 0 ? 4 : 2 * hp->_capacity;HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(hp->_a, sizeof(HPDataType) * newCapacity);if (tmp == NULL){perror("realloc fail");exit(-1);}hp->_a = tmp;hp->_capacity = newCapacity;}hp->_a[hp->_size] = x;hp->_size++;AdjustUp(hp->_a, hp->_size - 1);}void HeapPrint(Heap* hp){assert(hp);for (int i = 0; i _size; i++){printf("%d ", hp->_a[i]);}printf("\n");}void HeapPop(Heap* hp){assert(hp);assert(hp->_size > 0);Swap(&hp->_a[0], &hp->_a[hp->_size - 1]);hp->_size--;AdjustDown(hp->_a, hp->_size, 0);}HPDataType HeapTop(Heap* hp){assert(hp);assert(hp->_size > 0);return hp->_a[0];}int HeapSize(Heap* hp){return hp->_size;}int HeapEmpty(Heap* hp){assert(hp);if (hp->_size == 0)return 0;elsereturn 1;}
 
三、堆的应用
 
3.1堆排序
   堆排序即利用堆的思想来进行排序，总共分为两个步骤：       1.    建堆：       升序：建大堆，降序：建小堆。           2.     利用堆删除思想来进行排序          建堆和堆删除中都用到了向下调整，因此掌握了向下调整，就可以完成堆排序。           具体实现代码如下：          
void HeapSort1(int* a, int n){//向上调整建堆/*for (int i = 1; i = 0; i--)//从第一个非叶子节点开始向下调整{AdjustDown(a, n, i);}//排序int end = n - 1;while (end){Swap(&a[0], &a[end]);AdjustDown(a, end, 0);end--;}}
    
3.2TOP-K问题
    
TOP-K问题：即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。
         对于     Top-K     问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了     (     可能数据都不能一下子全部加载到内存中     )     。最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下：                    1.       用数据集合中前      K      个元素来建堆 :                前      k      个最大的元素，则建小堆，前      k      个最小的元素，则建大堆 。                       2.        用剩余的       N-K       个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素                           将剩余        N-K        个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的        K        个元素就是所求的前        K        个最小或者最大的元素。                       具体实现代码如下：                      
void CreatNData(){// 造数据int n = 10000000;srand(time(0));const char* file = "data.txt";FILE* fin = fopen(file, "w");if (fin == NULL){perror("fopen error");return;}//将数据写入data文件中for (int i = 0; i = 0; i--){AdjustDown(minHeap, k, i);}//将剩余的n-k各元素与堆顶的元素进行交换int x = 0;while (fscanf(fout, "%d", &x) != EOF){if (x > minHeap[0]){minHeap[0] = x;AdjustDown(minHeap, k, 0);}}//排序int end = k - 1;while (end){Swap(&minHeap[0], &minHeap[end]);AdjustDown(minHeap, end, 0);end--;}for (int i = 0; i