算法学习笔记（7.3）-贪心算法（最大切分乘问题）

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##问题描述

 ##问题思考

##贪心策略确定

##代码实现

##时间复杂度

 ##正确性验证

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##问题描述

给定一个正整数  ，将其切分为至少两个正整数的和，求切分后所有整数的乘积最大是多少

 ##问题思考

假设我们将  切分为  个整数因子，其中第  个因子记为  ，即

本题的目标是求得所有整数因子的最大乘积，即

我们需要思考的是：切分数量  应该多大，每个  应该是多少？

##贪心策略确定

我们假设从n中分出一个最小的因子2，则它们的乘积为2 * (n - 2),我们将该乘积与n进行比较得到一个重要结论：

当n≥4的时候，切分出来一个2后乘积会变大，这就说明大于等于4的整数都应该被切分出来。

##贪心策略1

如果切分方案中包含≥4因子，那么它就应该被继续切分。最终的切分方案只应出现1，2，3者三种因子。

这是我们就要思考选择什么因子会使结果达到最优解，1可以直接舍弃考虑。

当n = 6时，3*3>2*2*2，说明因子3比因子2更优。

##贪心策略2

在切分方案中，最多出现两个2.因为3个2总可以替换成2个3，获得最优的更大乘积。

综上所述，可推理出以下贪心策略。

1. 输入整数  ，从其不断地切分出因子 3 ，直至余数为 0、1、2 。
2. 当余数为 0 时，代表  是 3 的倍数，因此不做任何处理。
3. 当余数为 2 时，不继续划分，保留。
4. 当余数为 1 时，由于 2×2>1×3 ，因此应将最后一个 3 替换为 2 。

##代码实现

#python代码示例import mathdef max_product_cutting(n) :    if n