信号特征之希尔伯特变换（Python、C++、MATLAB实现）

希尔伯特变换

1 特征描述

希尔伯特变换广泛使用于信号处理应用中，以获得信号的解析表示。其可以计算瞬时频率和相位，相位被定义为原始信号和信号的希尔伯特变换之间的角度。对于信号 x ( t ) x(t) x(t)，其希尔伯特变换定义如下。

x ^ ( t ) = H [ x ( t ) ] = 1 π ∫ − ∞ + ∞ x ( τ ) t − τ   d τ \hat{x}(t)=H[x(t)]=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x(\tau)}{t-\tau}\,\text{d}\tau x^(t)=H[x(t)]=π1​∫−∞+∞​t−τx(τ)​dτ

由上式可知，随着变换的结果，自变量不变，因此输出 x ^ ( t ) \hat{x}(t) x^(t)也是与时间有关的函数。此外， x ^ ( t ) \hat{x}(t) x^(t)是 x ( t ) x(t) x(t)的线性函数。它是由 ( π t ) − 1 {({\pi}t)}^{-1} (πt)−1与 x ( t ) x(t) x(t)卷积获得的，如下关系所示。

x ^ ( t ) = 1 π t   ∗   x ( t ) \hat{x}(t)=\frac{1}{{\pi}t}\,\ast\,x(t) x^(t)=πt1​∗x(t)

由上式可以得到 x ( t ) x(t) x(t)的希尔伯特变换的傅立叶变换如下所示。

F [ x ^ ( t ) ] = F [ 1 π t ] F [ x ( t ) ] = − j   s g n ( f ) F [ x ( t ) ] \begin{split} F[\hat{x}(t)]&=F[\frac{1}{{\pi}t}]F[x(t)] \\ &=-j\,sgn(f)F[x(t)] \end{split} F[x^(t)]​=F[πt1​]F[x(t)]=−jsgn(f)F[x(t)]​

其中， s g n ( f ) sgn(f) sgn(f)如下所示。

s g n ( f ) = { + 1 , f > 0 0 , f = 0 − 1 , f 0\\ 0,&{\quad}f=0\\ -1,&{\quad}f0f=0f> cinNum; //201 for (size_t i = 0; i > temp; cinS.emplace_back(temp); } HilbertTransform(cinS, outputS); cout