Leetcoder Day34｜ 动态规划part01

动态规划理论基础

什么是动态规划

动���规划，英文：Dynamic Programming，简称DP，如果某一问题有很多重叠子问题，使用动态规划是最有效的。

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所以动态规划的每一个状态一定是从上一个状态推导出来的，这一点有别于贪心算法，贪心是从局部直接选择最优，不需要推导。

比如背包问题：有N件物品和一个最多能背重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

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贪心算法思路：每次拿物品选一个最大的或者最小的就完事了，和上一个状态没有关系。

动态规划思路：dp[j]是由dp[j-weight[i]]推导出来的，然后取max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])。

动态规划的解题步骤

一共有五部曲：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
2. 确定递推公式
3. dp数组如何初始化
4. 确定遍历顺序
5. 举例推导dp数组

要先确定递推公式，然后在考虑初始化，因为一些情况是递推公式决定了dp数组如何初始化。

动态规划应该如何debug

写动规题目，代码出问题很正常！

找问题的最好方式就是把dp数组打印出来，看看究竟是不是按照自己思路推导的！

一些同学对于dp的学习是黑盒的状态，就是不清楚dp数组的含义，不懂为什么这么初始化，递推公式背下来了，遍历顺序靠习惯就是这么写的，然后一鼓作气写出代码，如果代码能通过万事大吉，通过不了的话就凭感觉改一改。这是一个很不好的习惯！

做动规的题目，写代码之前一定要把状态转移在dp数组的上具体情况模拟一遍，心中有数，确定最后推出的是想要的结果。

然后再写代码，如果代码没通过就打印dp数组，看看是不是和自己预先推导的哪里不一样。

如果打印出来和自己预先模拟推导是一样的，那么就是自己的递归公式、初始化或者遍历顺序有问题。

如果和自己预先模拟推导的不一样，那么就是代码实现细节有问题。

这样才是一个完整的思考过程，而不是一旦代码出问题，就毫无头绪的东改改西改改，最后过不了，或者说是稀里糊涂的过了。

可以自己先思考这三个问题：

• 这道题目我举例推导状态转移公式了么？
• 我打印dp数组的日志了么？
• 打印出来了dp数组和我想的一样么？

  509. 斐波那契数

  斐波那契数，通常用 F(n) 表示，形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是： F(0) = 0，F(1) = 1 F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1 给你n ，请计算 F(n) 。

  示例 1：

  • 输入：2
  • 输出：1
  • 解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1

    示例 2：

    • 输入：3
    • 输出：2
    • 解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2

      按照动态规划5部曲：

      1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义：第i个数的斐波那契数值是dp[i]
      2. 确定递推公式：题目中已经给出，dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]
      3. dp数组如何初始化：题目中把如何初始化也直接给我们了：dp[0] = 0;dp[1] = 1;
      4. 确定遍历顺序：dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的
      5. 举例推导dp数组：0 1 1 2 3 5 当n=5

      class Solution {            public int fib(int n) {        if(n