【应用多元统计分析】--数据矩阵及R语言表示

��       在多元分析中，数据通常以矩阵的形式出现，下面结合R语言介绍基本的矩阵运算。主要包括：创建矩阵向量，矩阵加减、乘积，矩阵的逆，行列式的值，特征值与特征向量，QR分解，奇异值分解，取矩阵的上下三角元素，向量化算子等。

（）

1.创建一个向量（随机变量、一维数组）

用函数c()来创建一个向量

#创建向量x1=c(171,175,159,155,152,158,154,164,168,166,159,164)x2=c(57,64,41,38,35,44,41,51,57,49,47,46)length(x1)#返回向量长度length(x2)mode(x1)#返回向量的数据类型

2.创建一个矩阵（二维数组）

1）合并命令

可以用rbind()、cbind()将两个或两个以上的向量或矩阵合并起来，rbind()表示按行合并，cbind()按列合并。

（）

#创建矩阵rbind(x1,x2)#按行合并cbind(x1,x2)#按列合并

2）生成矩阵

matrix(data=NA,nrow=1,ncol=1,byrow=FALSE,dimnames=NULL)#data为必要的矩阵元素，nrow为行数，ncol为列数，这俩乘积应为矩阵元素个数#byrow控制排列元素是否按行进行#dimnames给定行和列的名称

matrix(x1,nrow=3,ncol=4)#生成矩阵，matrix(x1,nrow=4,ncol=3)

3.矩阵转置

A为m*n矩阵，A'为其转置矩阵，求A’在R中可用函数t()或transpose()

#矩阵转置A=matrix(1:12,nrow=3,ncol=4)t(A)#用函数t()或transpose()转置

4.矩阵相加减 

#矩阵相加减A=B=matrix(1:12,nrow=3,ncol=4)A+B

5.矩阵相乘

A为m*n矩阵，B为n*k矩阵，在R 中求AB可用符号“%*%” 

#矩阵相乘A=matrix(1:12,nrow=3,ncol=4)B=matrix(1:12,nrow=4,ncol=3)A%*%B

6.矩阵对角元素相关运算  

#矩阵对角元素相关运算A=matrix(1:16,nrow=4,ncol = 4)diag(A)#产生以这个向量为对角元素的对角矩阵#对一个正整数k应用diag()函数将产生k维单位矩阵diag(diag(A))diag(3)

7.矩阵求逆

矩阵求逆可用函数solve(),应用solve(A,b)运算结果可解线性方程组Ax=b，

若b缺省，则系统默认为单位矩阵，因此可用其进行矩阵求逆

#矩阵求逆A=matrix(rnorm(16),4,4);Asolve(A)#矩阵求逆可用函数solve(),应用solve(A,b)运算结果可解线性方程组Ax=b，#若b缺省，则系统默认为单位矩阵，因此可用其进行矩阵求逆

8.矩阵的特征值与特征向量

矩阵A的谱分解为A=U^U'，其中^是由A的特征值组成的对角矩阵，

U的列为A的特征值对应的特征向量，可以用函数eigen()得到U和A

eigen(x,symmetric,only.values=FALSE,EISPACK = FALSE)

其中x为矩阵，symmetric项指定矩阵x是否为对称矩阵，不指定则系统自动检测

#矩阵特征值与特征向量A=diag(4)+1AA.e=eigen(A,symmetric = T)A.e#矩阵A的谱分解为A=U^U'，其中^是由A的特征值组成的对角矩阵，#U的列为A的特征值对应的特征向量，可以用函数eigen()得到U和A#eigen(x,symmetric,only.values=FALSE,EISPACK = FALSE)#其中x为矩阵，symmetric项指定矩阵x是否为对称矩阵，不指定则系统自动检测A.e$vectors%*%diag(A.e$values)%*%t(A.e$vectors)

9.矩阵的Choleskey分解

对于正定矩阵A，可对其进行Choleskey分解，A=P'P，P为上三角矩阵

在R中可以用chol()函数进行Choleskey分解

#矩阵的Choleskey分解#对于正定矩阵A，可对其进行Choleskey分解，A=P'P，P为上三角矩阵#在R中可以用chol()函数进行Choleskey分解A.e=chol(A)A.et(A.e)%*%A.e

10.矩阵奇异值分解

A为m*n矩阵，rank(A)=r,可以分解为A=UDV'，其中U'U=V'V=I

在R中可以用函数svd()进行奇异值分解

#矩阵奇异值分解#A为m*n矩阵，rank(A)=r,可以分解为A=UDV'，其中U'U=V'V=I#在R中可以用函数svd()进行奇异值分解A=matrix(1:18,3,6)AA.s=svd(A)A.sA.s$u%*%diag(A.s$d)%*%t(A.s$v)

11.矩阵QR分解

A为m*n矩阵时可以进行QR分解，A=QR

其中Q'Q=I，在R中可以用函数qr()进行QR分解

#矩阵QR分解#A为m*n矩阵时可以进行QR分解，A=QR#其中Q'Q=I，在R中可以用函数qr()进行QR分解A=matrix(1:16,4,4)qr(A)

12.矩阵kronecker积

n*m矩阵A与h*k矩阵B的kronecker积为一个nh*mk维矩阵

在R中，kronecker积可以用函数kronecker()来计算

#矩阵kronecker积#n*m矩阵A与h*k矩阵B的kronecker积为一个nh*mk维矩阵#在R中，kronecker积可以用函数kronecker()来计算A=matrix(1:4,2,2)AB=matrix(rep(1,4),2,2)Bkronecker(A,B)

13.矩阵的维数

函数dim()将返回一个矩阵的维数

nrow()返回行数，ncol()返回列数

#矩阵的维数#函数dim()将返回一个矩阵的维数#nrow()返回行数，ncol()返回列数A=matrix(1:12,3,4)Adim(A)nrow(A)ncol(A)

14.矩阵的行和、列和、行平均数与列平均

#矩阵的行和、列和、行平均数与列平均rowSums(A)rowMeans(A)colSums(A)colMeans(A)#还可以用apply()函数实现：apply(X,MARGIN,FUN,......)#x为矩阵，MARGIN指定对行还是对列操作，1表示行运算，2为对列运算#FUN用来指定运算函数，“...”用来指定FUN中需要的其他参数apply(A,1,sum)apply(A,1,mean)apply(A,2,sum)apply(A,2,mean)A=matrix(rnorm(100),20,5)apply(A,2,var)#计算每一列的方差apply(A,2,function(x,a)x*a,a=2)