范德蒙行列式

范���蒙行列式（Vandermonde determinant）是一种特殊形式的行列式，常在多项式理论和插值中遇到。其命名来源于法国数学家Alexandre-Théophile Vandermonde。范德蒙行列式是以一组数为变量的行列式，其特殊之处在于每一行的元素是前一行的元素依次乘以一个固定的数。

具体来说，如果我们有一组变量 x 1 , x 2 , … , x n x_1, x_2, \ldots, x_n x1​,x2​,…,xn​，那么一个 n × n n \times n n×n 的范德蒙行列式可以表示为：

V ( x 1 , x 2 , … , x n ) = ∣ 1 x 1 x 1 2 ⋯ x 1 n − 1 1 x 2 x 2 2 ⋯ x 2 n − 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 x n x n 2 ⋯ x n n − 1 ∣ V(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} V(x1​,x2​,…,xn​)= ​11⋮1​x1​x2​⋮xn​​x12​x22​⋮xn2​​⋯⋯⋱⋯​x1n−1​x2n−1​⋮xnn−1​​ ​

其中，矩阵的第 i i i 行第 j j j列的元素是 x i j − 1 x_i^{j-1} xij−1​。范德蒙行列式的每一行代表了一个几何级数，而列则代表了不同的幂次。

范德蒙行列式的值可以通过下面的公式计算：

V ( x 1 , x 2 , … , x n ) = ∏ 1 ≤ i