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线性代数的学习和整理12: 矩阵与行列式的差别：定义和变换的差别
2026-11-02 01:32:31
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���录
1 行列式和矩阵的比较
2 简单总结矩阵与行列式的不同
3 加减乘除的不同
3.1 加法不同
3.2 减法不同
3.3 标量乘法/数乘
3.3.1 标准的数乘对比
3.3.2 数乘的扩展
3.4 乘法
4 初等线性变换的不同
4.1 对矩阵进行线性变换
4.2 对行列式进行线性变换
1 行列式和矩阵的比较
- 如果矩阵行数列数相等，那么这个矩阵是方阵，只有方阵才有行列式
- 行列式必须是行列数相等。行列式是方阵的一种特殊运算，加减乘除规则都和矩阵不同
2 简单总结矩阵与行列式的不同
- 区别1
- 矩阵是一个n*m的数表 矩阵是多个向量 ; 矩阵的行数和列数可以不同;
- 行列式是一个n阶的方阵样式的;
- 区别2
- 矩阵不能从整体上被看成一个数, 矩阵是多个向量 ;
- 行列式最终可以算出来变成一个数/标量;
- 区别3
- 加法不同
- 减法不同
- 数乘不同
- 乘法完全不同，不可比
- 区别4
- 线性变化的交换，行列式不同
- 线性变化的倍数，行列式不同
- 线性变化的倍加，行列式不变，是相同的
3 加减乘除的不同
3.1 加法不同
- 矩阵加法，两个矩阵都是n*m，A+B = 对应元素相加
- 行列式加法，见下图，只是某1行/列相加
3.2 减法不同
- 减法的差别，参考加法
3.3 标量乘法/数乘
3.3.1 标准的数乘对比
- 矩阵的标量乘法 λ*A=λ*每个元素，*A*B=A*λ*B
- 行列式的标量乘法，λ*|A|=λ*某1行/列
3.3.2 数乘的扩展
矩阵的数乘
- 矩阵的标量乘法始终如此 （λ*A）=λ*（A）
行列式得数乘扩展
- 行列式的标量乘法，|λ*A|=λ^n*|A| ，其中n是满秩矩阵A的秩/维度
- 行列数乘法： |Ann*Bnn| =|Ann|*|Bnn|
- 行列数乘法： |2Ann*Bnn| =|2Ann|*|Bnn| =2^n*|Ann|*|Bnn|
- 里面是矩阵的数乘，矩阵（假设是方阵）的数乘是每行每列都*λ
- 而行列式的数乘是 某1行/列*λ
- 因此每行的λ 都可以提出来，因此是n 个λ 相乘=λ^n
3.4 乘法
- 矩阵乘法
- 矩阵乘法：点乘
- 矩阵乘法：叉乘
- 行列式应该只有标量乘法，没有其他乘法吧?
4 初等线性变换的不同
线性变换包含，行的线性变换和列的线性变换
行的线性变换
- 行之间，交换
- 某行乘以倍数
- 某行乘倍数+到其他行
列的线性变换
- 列之间，交换
- 某列乘以倍数
- 某列乘倍数+到其他列
4.1 对矩阵进行线性变换
- 无论是线性行变换，还是线性列变换，矩阵还是等价得
- 交换某行/列
- 倍数
- 倍加
-
矩阵进行线性变换后的结果
- 线性变换前后系统的特征值不变；
- 线性变换前后系统的传递函数矩阵不变；
4.2 对行列式进行线性变换
- 交换：如果交换行列式|A| 的任意两行/列，增加一个负号-
- 倍数：如果行列式|A| 某1行或列*λ，|A| 变成 λ*|A|
- （如果行列式(对应方阵)每行每列都*λ，那么 A| 变成 λ^n*|A|）
- 倍加：如果行列式|A| 某1行或列*λ后，再加到另外某1行/列，|A| 不变还是=|A|
- 总结，只有进行倍加的线性变换之后，行列式才不变化
解释原因
- 因为行列式其实代表有向的面积比，所以交换行列式|A| 的任意两行/列，增加一个负号-
- 因为行列式的标量乘法 λ*|A|= 把行列式的某1行/列* λ，所以行列式|A| 某1行或列*λ，|A| 变成 λ*|A|
- 因为行列式其实代表有向的面积比，所以行列式|A| 某1行或列*λ后，再加到另外某1行/列，|A| 不变还是=|A|
- 矩阵的标量乘法始终如此 （λ*A）=λ*（A）
- 减法的差别，参考加法
- 区别1
