gcd+线性dp，[蓝桥杯 2018 国 B] 矩阵求和

一、题目

1、题目描述

���过重重笔试面试的考验，小明成功进入 Macrohard 公司工作。

今天小明的任务是填满这么一张表：

表有 �n 行 �n 列，行和列的编号都从 11 算起。

其中第 �i 行第 �j 个元素的值是 gcd⁡(�,�)gcd(i,j) 的平方，gcd⁡gcd 表示最大公约数，以下是这个表的前四行的前四列：

1  1  1  11  4  1  41  1  9  11  4  1 16

小明突然冒出一个奇怪的想法，他想知道这张表中所有元素的和。 由于表过于庞大，他希望借助计算机的力量。

2、输入输出

2.1输入

一行一个正整数 �n 意义见题。

2.2输出

一行一个数，表示所有元素的和。由于答案比较大，请输出模 10000000071000000007（即109+7109+7）后的结果。

3、原题链接

P8670 [蓝桥杯 2018 国 B] 矩阵求和 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

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二、解题报告

1、思路分析

先对公式进行化简

我们外层枚举需要O(n)的时间复杂度，那么对于f[k]的计算有没有快速的方法？

1  1  1  11  4  1  41  1  9  11  4  1 16

以示例为例，我们先考虑以2为公因数（注意并非gcd）的(i，j)数，显然有[4 / 2] * [4 / 2] = 4个

而此时矩阵中有3个2，原因是第四个2被16替代了，因为4作为比2大的数是(4，4)的gcd

因此我们可以得出以k为gcd的(i，j)数为[n / k] * [n/ k] - f[j]（j为k的倍数）

这样就得到了f[]的转移方程，这个状态转移是O(lnn)的

注意写代码时若干运算的选择，很可能因为多进行一次取模而导致没过

nlnn对于1e7数据量而言还是有点慢

2、复杂度

时间复杂度： O(nlnn)空间复杂度：O(n)

3、代码详解

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#include #include using namespace std;#define int long longconst int N = 1e7 + 10, mod = 1e9 + 7;int n, f[N], res = 0;void solve(){    cin >> n;    for (int i = n; i >= 1; i--)    {        f[i] = ((n / i) * (n / i)) % mod;        for (int j = i