NLP - 神经网络与反向传播

使用神经网络进行命名实体识别（二值词窗分类）

���据上下文窗口 建立词向量

通过一个神经网络层，通过一个逻辑分类器，得到这个概率是属于特定实体词的预测概率。

另一个分类器来比较说明 这个词是哪个实体类型（比较概率）

手工实现梯度下降

基础知识

雅可比矩阵：梯度的推广

• 给定一个具有 m m m 输出和 n n n 输入的函数：

  f ( x ) = [ f 1 ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) , . . . , f m ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) ] \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=[f_1(x_1,x_2,...,x_n),...,f_m(x_1,x_2,...,x_n)] f(x)=[f1​(x1​,x2​,...,xn​),...,fm​(x1​,x2​,...,xn​)]

• 它的雅可比矩阵是一个 m × n m\times n m×n 偏导数矩阵：

  ∂ f ∂ x = [ ∂ f 1 ∂ x 1 … ∂ f 1 ∂ x n ⋮ ⋱ ⋮ ∂ f m ∂ x 1 … ∂ f m ∂ x n ] ( ∂ f ∂ x ) i j = ∂ f i ∂ x j \dfrac{\partial\boldsymbol{f}}{\partial\boldsymbol{x}}=\begin{bmatrix}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}&\dots&\frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\\frac{\partial f_m}{\partial x_1}&\dots&\frac{\partial f_m}{\partial x_n}\end{bmatrix} \color{red}{\boxed{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_{ij}=\frac{\partial f_i}{\partial x_j}}} ∂x∂f​= ​∂x1​∂f1​​⋮∂x1​∂fm​​​…⋱…​∂xn​∂f1​​⋮∂xn​∂fm​​​ ​(∂x∂f​)ij​=∂xj​∂fi​​​

  链式法则

  • 对于一变量函数的复合：乘导数

    z = 3 y y = x 2 d z d x = d z d y d y d x = ( 3 ) ( 2 x ) = 6 x \begin{aligned} &z=3y \\ &y=x^{2} \\ &\begin{aligned}\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\frac{dy}{dx}=(3)(2x)=6x\end{aligned} \end{aligned} ​z=3yy=x2dxdz​=dydz​dxdy​=(3)(2x)=6x​​

  • 对于同时多个变量：乘以雅可比行列式

    h = f ( z ) z = W x + b ∂ h ∂ x = ∂ h ∂ z ∂ z ∂ x = . . . \begin{aligned} &\boldsymbol{h}=f(\boldsymbol{z}) \\ &z=\boldsymbol{W}\boldsymbol{x}+\boldsymbol{b} \\ &\begin{aligned}\frac{\partial\boldsymbol{h}}{\partial\boldsymbol{x}}=\frac{\partial\boldsymbol{h}}{\partial\boldsymbol{z}}\frac{\partial\boldsymbol{z}}{\partial\boldsymbol{x}}=...\end{aligned} \end{aligned} ​h=f(z)z=Wx+b∂x∂h​=∂z∂h​∂x∂z​=...​​

    雅可比行列式示例：逐元素激活函数

    h = f ( z ) ,     ∂ h ∂ z 是什么 ?          h , z ∈ R n \boldsymbol{h}= f( \boldsymbol{z}) ,\ \, \frac {\partial\boldsymbol{h}}{\partial\boldsymbol{z}}是什么? \ \ \ \ \ \ \ \ h,z\in\mathbb{R}^n h=f(z), ∂z∂h​是什么?        h,z∈Rn h i = f ( z i ) h_i=f(z_i) hi​=f(zi​)

    ( ∂ h ∂ z ) i j = ∂ h i ∂ z j = ∂ ∂ z j f ( z i )       雅可比行列式的定义 = { f ′ ( z i ) if  i = j 0 if otherwise      常规的一个变量的导数 \begin{aligned} \left(\frac{\partial\boldsymbol{h}}{\partial\boldsymbol{z}}\right)_{ij}& =\frac{\partial h_{i}}{\partial z_{j}}=\frac{\partial}{\partial z_{j}}f(z_{i}) \ \ \ \ \ \ 雅可比行列式的定义 \\ &=\begin{cases}f'(z_i)\quad\text{if }i=j\\0\quad \text{if otherwise}\end{cases} \ \ \ \ \ 常规的一个变量的导数 \end{aligned} (∂z∂h​)ij​​=∂zj​∂hi​​=∂zj​∂​f(zi​)      雅可比行列式的定义={f′(zi​)if i=j0if otherwise​     常规的一个变量的导数​

    ∂ h ∂ z = ( f ′ ( z 1 ) 0 ⋱ 0 f ′ ( z n ) ) = diag ⁡ ( f ′ ( z ) ) \left.\frac{\partial\boldsymbol{h}}{\partial\boldsymbol{z}}=\left(\begin{array}{ccc}f'(z_1)&&0\\&\ddots&\\0&&f'(z_n)\end{array}\right.\right)=\operatorname{diag}(\boldsymbol{f'}(\boldsymbol{z})) ∂z∂h​= ​f′(z1​)0​⋱​0f′(zn​)​ ​=diag(f′(z))

    其他雅可比行列式

    ∂ ∂ x ( W x + b ) = W ∂ ∂ b ( W x + b ) = I (单位矩阵) ∂ ∂ u ( u T h ) = h T \begin{aligned} &\begin{aligned}\frac{\partial}{\partial\boldsymbol{x}}(\boldsymbol{W}\boldsymbol{x}+\boldsymbol{b})=\boldsymbol{W}\end{aligned} \\ &\begin{aligned}\frac{\partial}{\partial\boldsymbol{b}}(\boldsymbol{W}\boldsymbol{x}+\boldsymbol{b})&=\boldsymbol{I}&\text{(单位矩阵)}\end{aligned} \\ &\begin{aligned}\frac{\partial}{\partial\boldsymbol{u}}(\boldsymbol{u}^T\boldsymbol{h})=\boldsymbol{h}^T\end{aligned} \end{aligned} ​∂x∂​(Wx+b)=W​∂b∂​(Wx+b)​=I​(单位矩阵)​∂u∂​(uTh)=hT​​

    回到神经网络

    怎么计算 ∂ s ∂ b \frac{\partial s}{\partial b} ∂b∂s​？

    1. 把等式拆解成简单的几个分块
    2. 应用链式法则
    3. 写下雅各比表达式

    怎么计算 ∂ s ∂ w \frac{\partial s}{\partial w} ∂w∂s​？

    δ \delta δ 是局部误差符号，是固定的。

    关于矩阵的导数：输出形状

    雅可比公式表达： 如果有一个函数 y = f ( x ) ，其中 x 是一个向量， y 是一个向量， 则雅可比矩阵  J  的元素  J i j  表示  y i  对  x j  的偏导数。 雅可比公式表达：\\ 如果有一个函数 y = f(x)，其中 x 是一个向量，y 是一个向量，\\ 则雅可比矩阵\ J\ 的元素\ J_{ij}\ 表示\ y_i\ 对\ x_j\ 的偏导数。 雅可比公式表达：如果有一个函数y=f(x)，其中x是一个向量，y是一个向量，则雅可比矩阵 J 的元素 Jij​ 表示 yi​ 对 xj​ 的偏导数。

    W ∈ R n × m W\in\mathbb{R}^{n\times m} W∈Rn×m , ∂ s ∂ W \frac{\partial s}{\partial W} ∂W∂s​ 的形状是：

    • “ 给定一个具有 m m m 输出和 n n n 输入的函数，它的雅可比矩阵是一个 m × n m\times n m×n 偏导数矩阵。”
    • 1个输出， n × m n\times m n×m 个输入，得到的应该是 1 × n m 1\times nm 1×nm 的雅可比矩阵？一个很长的低向量
      • 问题： 这样不方便更新参数 θ n e w = θ o l d − α ∇ θ J ( θ ) \theta^{new}=\theta^{old}-\alpha\nabla_\theta J(\theta) θnew=θold−α∇θ​J(θ)，都应该是 n × m n\times m n×m
      • 解决： 脱离数学，使用形状约定：导数的矩阵形状等于参数的矩阵形状
        • ∂ s ∂ W \frac{\partial s}{\partial W} ∂W∂s​ 的形状是 n × m n\times m n×m
        • [ ∂ s ∂ W 11 ⋯ ∂ s ∂ W 1 m ⋮ ⋱ ⋮ ∂ s ∂ W n 1 ⋯ ∂ s ∂ W n m ] \left.\left[\begin{matrix}\frac{\partial s}{\partial W_{11}}&\cdots&\frac{\partial s}{\partial W_{1m}}\\\vdots&\ddots&\vdots\\\frac{\partial s}{\partial W_{n1}}&\cdots&\frac{\partial s}{\partial W_{nm}}\end{matrix}\right.\right] ​∂W11​∂s​⋮∂Wn1​∂s​​⋯⋱⋯​∂W1m​∂s​⋮∂Wnm​∂s​​ ​

          b ∈ R n × 1 b\in\mathbb{R}^{n\times 1} b∈Rn×1 , ∂ s ∂ b \frac{\partial s}{\partial b} ∂b∂s​ 的形状是：

          • ∂ s ∂ b = h T ∘ f ′ ( z ) \frac{\partial s}{\partial\boldsymbol{b}}=\boldsymbol{h}^T\circ f^{\prime}(z) ∂b∂s​=hT∘f′(z) 是行向量
          • 但是习惯上 梯度应该是一个列向量 因为 b b b 是一个列向量

            雅可比矩阵形式(这使得链式法则很容易，对计算微积分很有意义) 和 形状约定(这使得SGD很容易实现)之间的分歧。

            • 解决：两个选择
              • 尽量使用雅可比矩阵形式（不完全使用），最后按照形状约定进行整形
                • 最后转置 ∂ s ∂ b \frac{\partial s}{\partial b} ∂b∂s​ 使导数成为列向量（而不是按照雅各比矩阵形式的行向量），
                • 通过 δ T \delta^T δT 来实现，这样始终遵循形状约定。
                • 一直遵循形状约定
                  • 查看维度，找出何时转置 和/或 重新排序项。

                    关于矩阵的导数（按照雅各比矩阵形式）

                    ∂ s ∂ W = δ ∂ z ∂ W \quad\frac{\partial s}{\partial W}=\boldsymbol{\delta}\frac{\partial z}{\partial W} ∂W∂s​=δ∂W∂z​

                    δ \delta δ 将出现在我们的答案中。

                    另一项应该是 x x x ,因为 z = W x + b z=Wx+b z=Wx+b

                    ∂ s ∂ b = δ ∂ z ∂ b \quad\frac{\partial s}{\partial b}=\boldsymbol{\delta}\frac{\partial z}{\partial b} ∂b∂s​=δ∂b∂z​

                    δ \delta δ 将出现在我们的答案中。

                    另一项应该是 1 1 1 ,因为 z = W x + b z=Wx+b z=Wx+b

                    这表明 ∂ s ∂ W = δ T x T \frac{\partial s}{\partial W}=\boldsymbol{\delta}^T\boldsymbol{x}^T ∂W∂s​=δTxT ∂ s ∂ b = δ T \frac{\partial s}{\partial b}=\boldsymbol{\delta}^T ∂b∂s​=δT

                    δ \delta δ 是 z 处的局部误差信号

                    x 是本地输入信号

                    总结

                    反向传播

                    求导，使用链式法则

                    构建计算图

                    • 前向传播阶段

                      神经网络的基本附加元素是 发回梯度，告诉我们怎么更新模型的参数，使得模型在 获得损失函数后进行学习（最小化损失）。

                      • 反向传播阶段
                      • 反向传播：单个节点
                      • 反向传播：多个节点
                      • 一个例子

                        反向传播最后的结果体现 改变输入对输出的影响，上涨/减少这个变量的多少倍

                        开始计算

                        就像前面手动计算梯度下降那样

                        在一般的计算图中进行反向传播计算的流程

                        现在的深度学习神经网络框架(Tensorflow, PyTorch, etc…)可以自动做反向传播，但是主要让层/节点编写器手动计算局部导数。我们需要为图中的特定节点或层添加内容。

                        反向传播的具体实现

                        class ComputationalGraph(object):#..... def forward(inputs):# 1.[pass inputs to input gates...] # 2. forward the computational graph: # 根据节点在计算图中的依赖关系对节点进行拓扑排序for gate in self .graph.nodes_topologically_sorted(): gate.forward()return loss # the final gate in the graph outputs the loss def backward():# 反转图的拓扑排序for gate in reversed(self.graph.nodes_topologically_sorted()):gate.backward() # little piece of backprop (chain rule applied) return inputs_gradients

                        手动实现前向/后向API

                        总结

                        • 反向传播：下游梯度 = 上游梯度 * 局部梯度
                        • 前向传播计算出当前参数的值，然后进行反向传播以计算出损失的梯度（当前参数的损失）。
                        • 现在的深度学习神经网络框架(Tensorflow, PyTorch, etc…)可以自动做反向传播，我们不用知道具体是怎么操作的，就像我们使用gcc来编译c代码，但是我们不需要具体知道gcc是怎么操作的。