数据结构之树结构（下）

各���各样的大树

平衡二叉树 (AVL树)

普通二叉树存在的问题

1. 左子树全部为空，从形式上看，更像一个单链表

2. 插入速度没有影响

3. 查询速度明显降低（因为需要依次比较），不能发挥BST的优势，因为每次还需要比较左子树，其查询速度比单链表还慢

4. 解决方案-平衡二叉树(AVL)

基本介绍

• 平衡二叉树也叫平衡二叉搜索树(Self-balancing binary search tree)又被称为AVL树，可以保证查询效率较高。
• 具有以下特点：它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，

  并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。平衡二叉树的常用实现方法有红黑树、

  AVL、替罪羊树、Treap、伸展树等，

  应用案例

  判断树的高度

  // 返回左子树的高度public int leftHeight() {    if (left == null) {        return 0;    }    return left.height();}// 返回右子树的高度public int rightHeight() {    if (right == null) {        return 0;    }    return right.height();}// 返回当前结点的高度，以该结点为根结点的树的高度public int height() {    return Math.max(left == null ? 0 : left.height(), right == null ? 0 : right.height()) + 1;}

  单旋转（左旋转）

  左旋转步骤

  • 前提条件： r i g h t H e i g h t ( ) − l e f t H e i g h t ( ) > 1 rightHeight() - leftHeight() > 1 rightHeight()−leftHeight()>1
    1. 创建一个新的节点newNode(以root 这个值创建)，创建一个新的节点，值等于当前根节点的值，把新节点的左子树设置了当前节点的左子树

       // newNode.left = left

    2. 把新节点的右子树设置为当前节点的右子树的左子树

       // newNode.right =right.left;

    3. 把当前节点的值换为右子节点的值

       // value=right.value;

    4. 把当前节点的右子树设置成当前结点的右子树的右子树

       // right=right.right;

    5. 把当前节点的左子树设置为新节点

       // left=newLeft;

    // 左旋转private void leftRotate() {    // 1. 创建一个新的节点newNode(以root 这个值创建)    // 创建一个新的节点，值等于当前根节点的值，把新节点的左子树设置了当前节点的左子树    Node newNode = new Node(value);    newNode.left = left;    // 2.把新节点的右子树设置为当前节点的右子树的左子树    newNode.right = right.left;    // 3.把当前节点的值换为右子节点的值    value = right.value;    // 4.把当前节点的右子树设置成当前结点的右子树的右子树    right = right.right;    // 5.把当前节点的左子树设置为新节点    left = newNode;}

    ---

    单旋转（右旋转）

    步骤

    1. 创建一个新的节点newNode(以root 这个值创建），创健一个新的节点，值等于当前根节点的值
    2. 把新节点的右子树设置了当前节点的右子树

       // newNode.right right

    3. 把新节点的左子树设置为当前节点的左子树的右子树

       // newNode.left =left.right;

    4. 把当前节点的值换为左子节点的值

       // value=left.value;

    5. 把当前节点的左子树设置成左子树的左子树

       // left=left.left;

    6. 把当前节点的右子树设置为新节点

       // right=newLeft;

    // 右旋转public void rightRotate() {    // 1.创建一个新的节点newNode(以root 这个值创建）    // 创健一个新的节点，值等于当前根节点的值    Node newNode = new Node(value);    // 2.把新节点的右子树设置了当前节点的右子树    newNode.right = right;    // 3.把新节点的左子树设置为当前节点的左子树的右子树    newNode.left = left.right;    // 4.把当前节点的值换为左子节点的值    value = left.value;    // 5.把当前节点的左子树设置成左子树的左子树    left = left.left;    // 6.把当前节点的右子树设置为新节点    right = newNode;}

    ---

    双旋转

    在单旋转中 (即一次旋转) 就可以将非平衡二叉树转成平衡二叉树，但是在某些情况下，单旋转不能完成平衡二叉树的转换

    情况1️⃣

    实现步骤

    1. 当右旋转的条件时

       • 如果它的左子树的右子树高度大于它的左子树的右子树的高度
       • 先对当前这个结点的左节点进行左旋转
       • 再对当前结点进行右旋转

       • 当左旋转时

         • 如果它的右子树的左子树高度大于它的右子树的右子树的高度
         • 先对当前这个结点的右结点进行右旋转
         • 再对当前结点进行左旋转

    /** * 添加在Node类的添加结点的方法里边 * 每添加一个结点就判断一次*/// 单旋转// 当添加完一个结点后，如果：(右子树的高度-左子树的高度) > 1，左旋转if (rightHeight() - leftHeight() > 1) {    // 如果它的右子树的左子树高度大于它的右子树的右子树的高度    if (right != null && right.rightHeight() > right.leftHeight()) {        // 先对当前这个结点的右结点进行右旋转        rightRotate();    }    leftRotate();  // 左旋转    return; // 一定要返回，否则会出现其他问题，提高VM处理速度}// 当添加完一个结点后，如果：(左子树的高度-右子树的高度) > 1，右旋转if (leftHeight() - rightHeight() > 1) {    // 如果它的左子树的右子树高度大于它的左子树的右子树的高度    if (left != null && left.rightHeight() > left.leftHeight()) {        // 先对当前这个结点的左节点进行左旋转        left.leftRotate();    }    rightRotate();  // 右旋转}

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    总代码

    package com.xiaolu.avl;/** * @author 林小鹿 * @version 1.0 */public class AvlTreeDemo {    public static void main(String[] args) {//        int[] arr = {4, 3, 6, 5, 7, 8};//        int[] arr = {10, 12, 8, 9, 7, 6};        int[] arr = {10, 11, 7, 6, 8, 9};        AVLTree avlTree = new AVLTree();        // 添加结点        for (int i = 0; i  this.value && this.right != null) {                return this.right.searchParent(value); // 向右子树递归查找            } else {                return null; // 没有找到父节点            }        }    }    // 按二叉排序树的形式递归添加结点    public void add(Node node) {        if (node == null) {            return;        }        // 判断传入的结点的值与当前子树的根结点的值关系        if (node.value  1，左旋转        if (rightHeight() - leftHeight() > 1) {            // 如果它的右子树的左子树高度大于它的右子树的右子树的高度            if (right != null && right.leftHeight() > right.rightHeight()) {                // 先对当前这个结点的右结点进行右旋转                rightRotate();            }            leftRotate();  // 左旋转            return; // 一定要返回，否则会出现其他问题，提高VM处理速度        }        // 当添加完一个结点后，如果：(左子树的高度-右子树的高度) > 1，右旋转        if (leftHeight() - rightHeight() > 1) {            // 如果它的左子树的右子树高度大于它的左子树的右子树的高度            if (left != null && left.rightHeight() > left.leftHeight()) {                // 先对当前这个结点的左节点进行左旋转                left.leftRotate();            }            rightRotate();  // 右旋转        }    }    // 中序遍历    public void infixOrder() {        if (this.left != null) {            this.left.infixOrder();        }        System.out.println(this);        if (this.right != null) {            this.right.infixOrder();        }    }    @Override    public String toString() {        return "Node[" +                "value=" + value +                ']';    }}

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    多路查找树

    二叉树存在的问题

    • 二叉树需要加载到内存的，如果二叉树的节点少，没有什么问题，但是如果二叉树的节点很多（比如1亿)，就存在如下问题

    • 问题1：在构建二叉树时，需要多次进行 I / O I/O I/O 操作海量数据存在数据库或文件中)，节点海量，构建二叉树时，速度有影响

    • 问题2：节点海量，也会造成二叉树的高度很大，会降低操作速度

      多叉树

      在二叉树中，每个节点有数据项，最多有两个子节点，如果允许每个节点可以有更多的数据项和更多的子节点，就是多叉树（multiway tree）

      多叉树通过重新组织节点，减少树的高度，能对二叉树进行优化

      2-3树

      2-3树是最简单的B-树结构，其他像2-3-4树同理

      特点

      • 2-3树的所有叶子节点都在同一层.（只要是B树都满足这个条件）
      • 有两个子节点的节点叫二节点，二节点要么没有子节点，要么有两个子节点
      • 有三个子节点的节点叫三节点，三节点要么没有子节点，要么有三个子节点.
      • 2-3树是由二节点和三节点构成的树。

        插入规则：

        1）2-3树的所有叶子节点都在同一层.（只要是B树都满足这个条件)

        2）有两个子节点的节点叫二节点，二节点要么没有子节点，要么有两个子节点

        3）有三个子节点的节点叫三节点，三节点要么没有子节点，要么有三个子节点

        4)当按照规则插入一个数到某个节点时，不能满足上面三个要求，就需要拆，先向上拆，如果上层满，则拆本层，拆后仍然需要满足上面3个条件。

        5)对于三节点的子树的值大小仍然遵守(BST 二叉排序树)的规则

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        B树

        B-tree，B即Balanced

        基本介绍

        • B树的阶：节点的最多子节点个数。比如2-3树的阶是3，2-3-4树的阶是4
        • B树的搜索，从根结点开始，对结点内的关键字（有序）序列进行二分查找，如果命中侧结束，否测进入查询关键字所属范围的儿子结点；重复，直到所对应的儿子指针为空，或已经是叶子结点
        • 关键字集合分布在整颗树中，即叶子节点和非叶子节点都存放数据
        • 搜索有可能在非叶子结点结束
        • 其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找

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          B+树

          B+树是B树的变体，也是一种多路搜索树

          基本介绍

          • B+树的搜索与B树也基本相同，区别是B+树只有达到叶子结点才命中（B树可以在非叶子结点命中），其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找
          • 所有关键字都出现在叶子结点的链表中（即数据只能在叶子节点【也叫稠密索引】)，且链表中的关键字数据恰好是有序的。
          • 不可能在非叶子结点命中
          • 非叶子结点相当于是叶子结点的索引（稀疏索引）叶子结点相当于是存储（关键字）数据的数据层
          • 更适合文件索引系统
          • B树和B+时各有自己的应用场景，不能说B+完全比B树好，反之亦然

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            B*树

            B*树是B+树的变体，在B+树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指正

            基本说明

            • B*树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)*M，即块的最低使用率为2/3，而B+树的块的最低使用率为B+树的1/2。
            • 从第1个特点我们可以看出，B*树分配新结点的概率比B+树要低，空间使用率更高